判斷合同矩陣

❶ 線代題 怎麼判斷兩個矩陣是否合同

矩陣合同的主要判別法：

設A,B均為復數域上的階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。

設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A。

(1)判斷合同矩陣擴展閱讀：

線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關系，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數。

非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關系，一階導數不為常數。

線性代數起源於對二維和三維直角坐標系的研究。在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。

現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為n的向量空間叫做n維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想像n維空間中的向量，這樣的向量（即n元組）用來表示數據非常有效。

由於作為n元組，向量是n個元素的「有序」列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。

比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產總值（GNP）。當所有國家的順序排定之後，比如（中國、美國、英國、法國、德國、西班牙、印度、澳大利亞），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）顯示這些國家某一年各自的 GNP。這里，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬於抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。

一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特別在向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。

向量空間是在域上定義的，比如實數域或復數域。線性運算元將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。

如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣演算法的深入研究（包括行列式和特徵向量）也被認為是線性代數的一部分。

❷ 怎樣判斷兩個矩陣合同

矩陣合同的主要自判別法：

1、設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。

2、設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個實對稱矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣P，使得對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。

1、對於任一實系數n元二次型X'AX，要化為標准型，實際上就是要找一個可逆變換X=CY，將它化為Y'BY的形式，其中B為對角陣。則C'AC=B,B就是A的一個合同矩陣了。

2、如果你想要的是將A經合同變換化為B時的變換矩陣C，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。

(2)判斷合同矩陣擴展閱讀：

合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；

3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；

4、合同矩陣的秩相同。

❸ 線性代數問題 怎麼判斷兩個矩陣是否合同

這個沒有很好用的充分必要條件,只能用定義或簡單結論
因為合同必等價,所以 若兩個矩陣的秩不相同,則它們不是合同的
若存在可逆矩陣C,使得 C'AC = B,則A與B合同 ,這是從定義的角度考慮.
若給兩個顯式矩陣,判斷它們是否合同,只能把它們化成標准形,比較它們的正負慣性指數
正負慣性指數分別相等則合同,否則不合同.
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❹ 線性代數中，怎麼判斷兩個矩陣是否合同

矩陣合同的判別法：

設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。

設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

(4)判斷合同矩陣擴展閱讀：

合同矩陣發展史

1、1855 年，埃米特證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來 ，克萊伯施、布克海姆等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯引入矩陣的跡的概念並得出了一些有關的結論。

2、在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。

3、1854年，約當研究了矩陣化為標准型的問題。 1892 年，梅茨勒引進了矩陣的超越函數概念並將其寫成矩陣的冪級數的形式。

❺ 矩陣相似與矩陣合同有什麼區別

矩陣相似與矩陣合同具體的不同點在於：

1. 矩陣相似的例子中，P-1AP=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是二者有相等的不變因子；可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；矩陣相似必等價，但等價不一定相似。

2. 矩陣合同的例子中，CTAC=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是秩相等且正慣性指數相等，即標准型相同；可通過二次型的非退化的線性替換來理解；矩陣合同必等價，但等價不一定合同。

3. 總結：矩陣的相似和矩陣的合同都是由線性空間中坐標系的轉換引起的。我們在線性空間中定義矩陣和向量的乘法，並將矩陣理解成線性空間中「運動」的施加，變換坐標系之後，同一個「運動」在不同坐標系下是相似的關系。我們在線性空間中定義向量的內積（或者說雙線性型），同一個雙線性型運算在不同坐標系下相差合同矩陣。之所以要換坐標系，就是為了在最簡單的坐標系下看清問題的本質。

。

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

2.性質：

合同關系是一個等價關系，就是說滿足：1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；2、 對稱性：A合同 B，則可以推出B合同於A；3、 傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同 C；4、合同矩陣的秩相同。

3.矩陣合同的主要判別法：

（1）B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同.

（2）B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

❻ 如何判斷矩陣合同、相似、等價

1、矩陣等價

矩陣A與B等價必須具備的兩個條件：

(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)；

(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q， 使B= PAQ。

2、矩陣A與B合同

必須同時具備的兩個條件：

(1) 矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣；

(2) 存在n階矩陣P: P^TAP= B。

3、矩陣A與B相似

必須同時具備兩個條件：

(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣，而且是方陣；

(2)存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP= B。

(6)判斷合同矩陣擴展閱讀

矩陣的相似，實際上兩個相似矩陣描述的是同一個線性變換，只是在不同基底下的坐標表示。相似矩陣的特徵值相同，秩也相同，方陣對應的行列式也相同。

判斷兩個矩陣是否相似，一般的題型是看兩個矩陣能否相似於同一對角陣。同時兩個矩陣相似，其對應的以矩陣為變數的兩個函數也相似。

矩陣的合同是在二次型的背景下提出來的，理解合同就針對二次型里的對稱陣，給一個二次型，我們可以寫成矩陣表達形式，做一系列的可逆變換，新得到的表示二次型的矩陣，就是與原矩陣合同的新矩陣。

對於對稱陣，兩矩陣合同的重要條件是正負慣性指數相同，也就是正特徵值的個數，負特徵值的個數相同。

矩陣相似與否和合同與否沒有直接關系，但在我們的考試當中，一般考察對稱陣，在對稱陣的前提下，矩陣相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特徵值一樣，合同只要求特徵值的正負性一樣。

❼ 什麼叫兩個矩陣相似、合同如何判斷兩個矩陣相似如何判斷兩個矩陣合同

兩矩陣相似的條件是書上定義，特徵值什麼的，說的是矩陣能夠相似回對角化的條件。答矩陣相似對角化的充要條件是n階矩陣有n個線性無關的特徵向量。矩陣能夠相似對角化的充分條件是，n階矩陣有n個不同的特徵值，矩陣是實對稱矩陣。

❽ 線性代數中，怎麼判斷兩個矩陣是否合同

矩陣合同的判別法：

設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上內合同等價於A與B的秩相容同。

設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

(8)判斷合同矩陣擴展閱讀：

合同矩陣發展史

1、1855 年，埃米特證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來 ，克萊伯施、布克海姆等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯引入矩陣的跡的概念並得出了一些有關的結論。

2、在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。

3、1854年，約當研究了矩陣化為標准型的問題。 1892 年，梅茨勒引進了矩陣的超越函數概念並將其寫成矩陣的冪級數的形式。

❾ 請問這兩個矩陣是否合同 判斷矩陣相似或者合同的方法有什麼

實對稱矩陣合同的充分必要條件是它們有相同的正負慣性指數
第1個矩陣的正負慣性指數分別為2,1
第2個矩陣對應的二次型經配方法可知其正負慣性指數分別為2,1
故兩個矩陣合同

❿ 合同矩陣和相似矩陣的區別

矩陣a,b相似是指存在可逆矩陣p,使得b=p^(-1)ap
而矩陣的合同則是指存在可逆矩陣p，使得b=ptap。
當然矩陣相似不一定是合同的了。