矩陣合同相似

『壹』 如何判斷矩陣合同、相似、等價

1、矩陣等價

矩陣A與B等價必須具備的兩個條件：

(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)；

(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q， 使B= PAQ。

2、矩陣A與B合同

必須同時具備的兩個條件：

(1) 矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣；

(2) 存在n階矩陣P: P^TAP= B。

3、矩陣A與B相似

必須同時具備兩個條件：

(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣，而且是方陣；

(2)存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP= B。

(1)矩陣合同相似擴展閱讀

矩陣的相似，實際上兩個相似矩陣描述的是同一個線性變換，只是在不同基底下的坐標表示。相似矩陣的特徵值相同，秩也相同，方陣對應的行列式也相同。

判斷兩個矩陣是否相似，一般的題型是看兩個矩陣能否相似於同一對角陣。同時兩個矩陣相似，其對應的以矩陣為變數的兩個函數也相似。

矩陣的合同是在二次型的背景下提出來的，理解合同就針對二次型里的對稱陣，給一個二次型，我們可以寫成矩陣表達形式，做一系列的可逆變換，新得到的表示二次型的矩陣，就是與原矩陣合同的新矩陣。

對於對稱陣，兩矩陣合同的重要條件是正負慣性指數相同，也就是正特徵值的個數，負特徵值的個數相同。

矩陣相似與否和合同與否沒有直接關系，但在我們的考試當中，一般考察對稱陣，在對稱陣的前提下，矩陣相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特徵值一樣，合同只要求特徵值的正負性一樣。

『貳』 矩陣的等價相似和合同三者有何區別

1、等價（只有秩相同）–>合同（秩和正負慣性指數相同）–>相似（秩，正負慣性指數，特徵值均相同），矩陣親密關系的一步步深化。

2、相似矩陣必為等價矩陣，但等價矩陣未必為相似矩陣 ，PQ=EPQ=E的等價矩陣是相似矩陣。

3、合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣，正慣性指數相同的等價矩陣是合同矩陣。合同矩陣未必是相似矩陣，相似矩陣未必合同。

4、正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣。如果A與B都是n階實對稱矩陣，且有相同的特徵根．則A與B既相似又合同。

(2)矩陣合同相似擴展閱讀：

矩陣切換器技術指標

矩陣切換器根據不同的應用領域，所要求的技術指標也不同。以廣電行業為例，為保證終端的顯示質量，廣電行業將整個信號傳輸過程，從攝像頭開始到電視機為止，都進行了技術指標分配，對模擬矩陣切換和分配。

一般指在多路輸入的情況下有多路的輸出選擇，形成的矩陣結構，將形成M×N的結構稱為矩陣切換器，而將M×1的結構稱為切換器或選擇器，1×M的結構稱為分配器。矩陣的原理是利用晶元內部電路的導通與關閉進行接通與關斷，並可通過電平進行控制完成信號的選擇。

『叄』 矩陣的等價相似和合同三者有何區別

1、它們的概念不同

等價概念：若矩陣A可以經過有限次初等變換化為B，則稱矩陣A與B等價，記為A≌B。

合同概念概念：兩個n階方陣A_B,若存在可逆矩陣P,使得A≌Bp"AP=B成立，則稱A,B合同，記作A≌B該過程成為合同變換。

相似概念： n階方陣AB，若存在一個可逆矩陣P使得B=P="I4P成立，則稱矩陣AB相似，記為A~B。

2、它們的條件不同

矩陣等價：同型矩陣而言，般與初等變換有關，秩是矩陣等價的不變數，同次，兩同型矩陣相似的。

矩陣相似：針對方陣而言。秩相等是必要條件，本質是二者有相等的不變因子。

矩陣合同：針對方陣而言，一般是對稱矩陣，秩相等是必需條件，本質是秩相等且存在慣性指數相等，即標准型同。

3、它們的充分必要條件不同

矩陣等價的充要條件：AB同型，且人r(A)=r(B)A≌B={存在可逆矩陣P和Q，使得PAQ=B成立}

矩陣合同的充要條件：矩陣A.B均為實對稱矩陣，則A≌B≈二次型xAx與x"Bx有相等的E負慣性指數，即有相同的標准型。

矩陣相似的充分條件及充要條件：充分條件：矩陣AB有相同的不變因子或行列式因子。充要條件： A~B口(2E-A)≌(AE-B)。

『肆』 第10題如何判斷兩個矩陣合同和相似

對於兩個實對稱矩陣，相似的充要條件是特徵值相同。兩個矩陣合同的條件是特徵值的正負慣性指數相同（即特徵值正負個數相同），所以實對稱矩陣相似必然合同。
所以，你要求出A的所有特徵值看看。

『伍』 合同矩陣和相似矩陣的區別

相似，p^(-1)AP=B, 則稱A相似B；
合同， XT AX=B，則稱A，B合同；
簡而言之，相似就是兩個矩陣經過初等變換能從A變到B，此時有相同的秩，特徵值；
合同就是兩個矩陣有相同的正負慣性指數來進行判斷

『陸』 矩陣的相似、合同 有哪些性質

相似則特徵多項式相同，特徵值相同，行列式相等，跡相等，秩相等
合同則秩相等
兩者不能互推
但在可對角化前提下，相似必合同

『柒』 合同矩陣和相似矩陣的區別

矩陣a,b相似是指存在可逆矩陣p,使得b=p^(-1)ap
而矩陣的合同則是指存在可逆矩陣p，使得b=ptap。
當然矩陣相似不一定是合同的了。

『捌』 兩個矩陣特徵值相同，能推出相似或合同嗎

特徵值相同，不一定相似，也不一定合同。

但是:

1）如果都是對稱矩陣，那麼版特徵值相同，能推出權合同

2）如果兩矩陣都可以相似對角化，則兩矩陣特徵值相同，能推出相似。

(8)矩陣合同相似擴展閱讀：

在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合 ，最早來自於方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。

矩陣運算在科學計算中非常重要 ，而矩陣的基本運算包括矩陣的加法，減法，數乘，轉置，共軛和共軛轉置 。

加法

『玖』 矩陣相似與矩陣合同有什麼區別

矩陣相似與矩陣合同具體的不同點在於：

1. 矩陣相似的例子中，P-1AP=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是二者有相等的不變因子；可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；矩陣相似必等價，但等價不一定相似。

2. 矩陣合同的例子中，CTAC=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是秩相等且正慣性指數相等，即標准型相同；可通過二次型的非退化的線性替換來理解；矩陣合同必等價，但等價不一定合同。

3. 總結：矩陣的相似和矩陣的合同都是由線性空間中坐標系的轉換引起的。我們在線性空間中定義矩陣和向量的乘法，並將矩陣理解成線性空間中「運動」的施加，變換坐標系之後，同一個「運動」在不同坐標系下是相似的關系。我們在線性空間中定義向量的內積（或者說雙線性型），同一個雙線性型運算在不同坐標系下相差合同矩陣。之所以要換坐標系，就是為了在最簡單的坐標系下看清問題的本質。

。

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

2.性質：

合同關系是一個等價關系，就是說滿足：1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；2、 對稱性：A合同 B，則可以推出B合同於A；3、 傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同 C；4、合同矩陣的秩相同。

3.矩陣合同的主要判別法：

（1）B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同.

（2）B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

『拾』 矩陣合同和相似有關系嗎

沒有關系。

合同與相似是特殊的等價關系，若兩個矩陣相似或合同，則這兩版個矩陣一定等價，反之權不成立。相似與合同不能互相推導，但是如果兩個實對稱矩陣是相似的，那肯定是合同的。

兩矩陣合同的概念：設A,B是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得C^TAC=B，則稱方陣A與B合同，記作 A≃B。

兩矩陣相似的概念：設A/B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

(10)矩陣合同相似擴展閱讀：

合同矩陣的性質：

1、任意矩陣都與其自身合同。

2、A合同 B，則可以推出B合同於A。

3、A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C。

4、合同矩陣的秩相同。

相似矩陣的性質:

1、相似矩陣的秩相等。

2、相似矩陣的行列式相等。

3、相似矩陣具有相同的可逆性, 當它們可逆時,則它們的逆矩陣也相似。

4、相似矩陣的特徵值相同，特徵多項式也相同。