矩陣合同變換
Ⅰ 矩陣的相似變換在幾何上對應什麼合同變換
圖形的相似變抄換是指由一襲個圖形到另一個圖形，在改變的過程中保持形狀不變（大小方向和位置可變）的圖形。
設M是方陣， P是一個同階可逆矩陣（即行列式不為零，也稱非奇異矩陣）， N=P^(-1)MP 稱為M的相似變換。 其中如果M和P都可以是復數域內的方陣，為了區別，我們通常稱為復相似變換。
Ⅱ 關於矩陣合同變換
^^解：原式復=∫制<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫<r^2/2,2>r^2dz (作柱面坐標變換)
=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr
=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3。
Ⅲ 合同矩陣怎麼找
合同矩陣：兩個實對稱矩陣A和B，如存在可逆矩陣P，使得
就稱矩陣A和B互為合同矩陣，並且稱由A到B的變換叫合同變換。
在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個實對稱矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣P，使得對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。
1 對於任一實系數n元二次型X'AX，要化為標准型，實際上就是要找一個可逆變換X=CY，將它化為Y'BY的形式，其中B為對角陣。則C'AC=B,B就是A的一個合同矩陣了。
2 如果你想要的是將A經合同變換化為B時的變換矩陣C，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。
（1）配方法：如果二次型中含變數xi的平方項，則先將含xi的項集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項；如果二次型不含平方項，但某混合項系數aij不為0，可先通過xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現平方項後，按前一方法配方。
例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3
=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;
作變換y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得標准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.
將上述變換求出逆變換x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,寫成矩陣形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分號表示矩陣行結束）就是合同變換中的變換矩陣。
例，f=2x1x2-6x1x3,無平方項，則先作變換x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中
f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;
再作變換z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆變換y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成
f=2z1^2-2z2^2這種標准二次型。
最後將再次用的變換寫成矩陣形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,則C=C1*C2就是所求（具體計算略）。
（2）初等變換法：
將二次型的矩陣A與同階單位陣I合並成n_2n的矩陣（A|I），在這個矩陣中作初等行變換並對子塊A再作同樣的初等列變換，當將A化為對角陣時，子塊I將會變為C』。
（3）正交變換法：
先寫出二次型f的tdbl，它是實對稱矩陣，求出全部特徵值λi（i=1，2，……，n）；再對每一特徵值寫出它所對應的單位特徵向量（特徵值相同的不同特徵向量注意正交化）；把上述單位正交特徵向量作為矩陣的列構造正交矩陣T，那麼正交變換X=TY將會把二次型X'AX化為標准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2
Ⅳ 合同變換的可逆矩陣是唯一的嗎
這個問題，對某個確定的矩陣A 若A可逆 則A的逆陣唯一
後面是對某個矩陣A做初等變換得到F
由於初等變換得到某個矩陣方法不唯一 所乘的可逆矩陣P不唯一
但對其中一個矩陣P來說 它的逆陣是唯一的
Ⅳ 矩陣由正交變換為標准形，這兩個矩陣不僅合同而且相似。這是為什麼，能解釋一下嗎。不勝感激
正交變換指存在正交矩陣P, 使得 P^-1AP = B 所以 A,B 相似
由於 P是正交矩陣，所以 P^T = P^-1
所以 P^TAP = B, 故 A,B 合同
在實對稱矩陣中，每個矩陣都可以通過正交變換對角化，而對角化的結果恰為特徵值構成的對角矩陣。
正交變化（P^(-1)=P^T)
故如果相似，則可以相似於同一個對角矩陣，則特徵值相同
另外注意到是相似於同一個對角矩陣，故可以取正交變換，在這個意義上合同。
(5)矩陣合同變換擴展閱讀：
合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：
1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；
2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；
3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；
4、合同矩陣的秩相同。
Ⅵ 對稱矩陣進行合同變換後行列式的值會改變嗎
當然可能會改變
注意行列式值不變的是相似矩陣
即B=P^-1 AP時
A和B行列式相等
而合同的B=C^T AC
B和A的行列式不一定相等
只能保證秩相等，正負特徵值的個數相等
Ⅶ 一個線性變換在不同基下矩陣不是合同的嗎，相似不是可以推出合同嗎
合同的充要條件是兩個矩陣具有相同的rank和相同的慣性指標
相似的充要條件是兩個矩陣的專特徵行列屬式相同，即特徵值相同
根據以上充要條件，和矩陣對角化的方法就可以推知：
1.
兩矩陣相似一定合同；
2.
兩矩陣合同不一定相似。
Ⅷ 什麼是正交變換矩陣
如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示「矩陣A的轉置矩陣」）或=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。盡管我們在這里只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於復數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
(8)矩陣合同變換擴展閱讀
正交矩陣的性質
1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。
2、正交矩陣不一定對稱。
3、正交矩陣的特徵值為正負1或者cos(t)+isin(t),換句話說特徵值的模長為1。
4、正交矩陣的行列式肯定是正負1,正1是叫第一類,負1時叫第二類。
5、對稱的正交矩陣不一定是對角的,只是滿足A'=A=A^{-1},例如副對角線全為1,其餘元素都為零的那個方陣就是這種類型。
6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣,但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。
7、正交矩陣的每一個行(列)向量都是模為1的,並且任意兩個行(列)向量是正交的,即所有的行(列)向量組成R^n的一組標准正交基。
8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1,如果有一個元素為1,那麼這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。
9、一個對稱矩陣,如果它的特徵值都為1或者-1,那麼這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。
10、如果b是一個n維單位實列向量,則E_n-2bb'是一個對稱正交矩陣.因為E_n-2bb'的特徵值為1(n-1重),-1(1重),同時還是一個對陣矩陣。
Ⅸ 合同矩陣問題 已知矩陣a,經過合同變換得到對角陣b,則b是唯一的么 要證明的啊。謝謝啦
不是唯一的.
給你個反例專:
設 C'AC = diag(4,9)
令屬 T = diag(1/2,1/3)
則 (TC)'A(CT) = T' (C'AC)T = diag(1/2,1/3)diag(4,9)diag(1/2,1/3)
= diag(1,1).
Ⅹ 初等變換法求合同矩陣
構造分塊矩陣
A
E
對矩陣作初等變換, 目標將上子塊分為對角矩陣
方法: 作一列變換後, 作一個同類型的轉置行變換