向量合同

㈠ 向量組等價 等價矩陣 相似矩陣 合同矩陣 的關系

向量組不等價嗎？ 雖然列不等價，但是行等價啊

㈡ 線代題 怎麼判斷兩個矩陣是否合同

矩陣合同的主要判別法：

設A,B均為復數域上的階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。

設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A。

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線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關系，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數。

非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關系，一階導數不為常數。

線性代數起源於對二維和三維直角坐標系的研究。在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。

現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為n的向量空間叫做n維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想像n維空間中的向量，這樣的向量（即n元組）用來表示數據非常有效。

由於作為n元組，向量是n個元素的「有序」列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。

比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產總值（GNP）。當所有國家的順序排定之後，比如（中國、美國、英國、法國、德國、西班牙、印度、澳大利亞），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）顯示這些國家某一年各自的 GNP。這里，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬於抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。

一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特別在向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。

向量空間是在域上定義的，比如實數域或復數域。線性運算元將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。

如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣演算法的深入研究（包括行列式和特徵向量）也被認為是線性代數的一部分。

㈢ 向量組等價,相似矩陣,矩陣合同,中具有反身性,對稱性,傳遞性,那什麼是反身性,對稱性,傳遞性

對等價向量組
反身性：向量組A等價於自身，記為：A~A
對稱性：若向量組專屬A~向量組B，則向量組B~向量組A
傳遞性： 若向量組A等價向量組B，向量組B等價向量組C，則向量組A等價向量組C
其他類似

㈣ 矩陣通過合同變換變換出的對角陣對角線上的數字就是特徵值嗎，由e變換出的C矩陣列向量為特徵向量嗎

通過合同變換,得到P^TAP=D
對角陣上的數字不一定是特徵值，除非P滿足正交矩陣

㈤ 線性代數問題 A和B合同 怎麼求C 我只知道是用特徵向量求 具體怎麼做

C應該是有個前提條件的吧，則Ct=C逆，所以可以理解為 C逆AC=B然後就是求相似矩陣的知識了。。。（太久了實在記不起來詳細應該怎麼算了= =）

㈥ 如果知道同階矩陣A，B的特徵值，A+B的特徵值是A和B特徵值的和嗎

特徵值的個數不一定只有一個，故一般說A的特徵值之一為x，或x是A的一個特徵值，或x是A的特徵值之一。

如果它們有A的特徵值x對應的特徵向量與B的特徵值y對應的特徵向量相同，比如都是ξ。

那麼 Aξ=xξ,B=yξ，此時(A+B)ξ=(x+y)ξ，此時A+B有特徵值x+y，對應的特徵向量還是ξ。

設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關系式Ax=λx成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣A特徵值，非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。式Ax=λx也可寫成( A-λE)X=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數行列式| A-λE|=0。

A的對應於特徵值λ1=λ2=-2的全部特徵向量為x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全為零)，可見，特徵值λ=-2的特徵向量空間是二維的。注意，特徵值在重根時，特徵向量空間的維數是特徵根的重數。

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性質

性質1：n階方陣A=(aij)的所有特徵根為λ1，λ2，…,λn(包括重根)。

性質2：若λ是可逆陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則1/λ 是A的逆的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。

性質3：若 λ是方陣A的一個特徵根，x為對應的特徵向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個特徵根，x仍為對應的特徵向量。

性質4：設λ1，λ2，…,λm是方陣A的互不相同的特徵值。xj是屬於λi的特徵向量( i=1,2,…,m)，則x1,x2,…,xm線性無關，即不相同特徵值的特徵向量線性無關[2] 。

㈦ 二次型能用特徵值、特徵向量來化標准形,原因在於相似變換與合同變換本質上相同

一般的相似變換不是合同變換, 而二次型恰好可以用正交相似變換對角化, 這既是相似變換又是合同變換.

㈧ 什麼叫正交變換為什麼要正交變換

在線性代數中，正交變換是線性變換的一種，它從實內積空間V映射到V自身，且內保證變換前容後內積不變。

原因：

因為向量的模長與夾角都是用內積定義的，所以正交變換前後一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。特別地，標准正交基經正交變換後仍為標准正交基。

在有限維空間中，正交變換在標准正交基下的矩陣表示為正交矩陣，其所有行和所有列也都各自構成V的一組標准正交基。因為正交矩陣的行列式只可能為+1或−1，故正交變換的行列式為+1或−1。

行列式為+1和−1的正交變換分別稱為第一類的（對應旋轉變換）和第二類的（對應瑕旋轉變換）。可見，歐幾里得空間中的正交變換只包含旋轉、反射及它們的組合（即瑕旋轉）。

做內積之值。

㈨ 線性代數中，怎麼判斷兩個矩陣是否合同

矩陣合同的判別法：

設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上內合同等價於A與B的秩相容同。

設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

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合同矩陣發展史

1、1855 年，埃米特證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來 ，克萊伯施、布克海姆等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯引入矩陣的跡的概念並得出了一些有關的結論。

2、在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。

3、1854年，約當研究了矩陣化為標准型的問題。 1892 年，梅茨勒引進了矩陣的超越函數概念並將其寫成矩陣的冪級數的形式。

㈩ 為什麼判斷2個矩陣合同是看正負慣性指數是否相同，特徵值的正負個數是否相同

合同變換是對行做一次變換就要對列做相同得變換。

對於可對角化矩陣，經過合同變換最終是化成對角矩陣，所以比較2矩陣是否合同要看這2矩陣得對角化矩陣是否合同。

而2對角化矩陣再做合同變換只能化為單位得不能換正負號，所以2對角化矩陣合同充要條件是正負慣性系數相同。

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

第一步：計算的特徵多項式；

第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；

第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量。

(10)向量合同擴展閱讀：

若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。

矩陣有n個不同的特徵向量；特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件，則需要出現二重以上的重特徵值可驗證（一重相當於沒有重根）。