兩矩陣合同的充要條件
㈠ A和B都是n階實對稱矩陣，則A與B合同的充分必要條件是()
正負慣性指數相同。
㈡ 怎樣判斷兩個矩陣合同
矩陣合同的主要自判別法：
1、設A，B均為復數域上的n階對稱矩陣，則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同。
2、設A，B均為實數域上的n階對稱矩陣，則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。
在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個實對稱矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣P，使得對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。
1、對於任一實系數n元二次型X'AX，要化為標准型，實際上就是要找一個可逆變換X=CY，將它化為Y'BY的形式，其中B為對角陣。則C'AC=B,B就是A的一個合同矩陣了。
2、如果你想要的是將A經合同變換化為B時的變換矩陣C，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。
(2)兩矩陣合同的充要條件擴展閱讀：
合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：
1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；
2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；
3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；
4、合同矩陣的秩相同。
㈢ 如果兩個矩陣合同，那麼它們兩個之間有什麼定理或推論
如果兩個矩陣合同，則它們有相同的定號，有相同的秩，有相同的正負慣性指數，它們的行列式同號。
在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。兩個矩陣A和B是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣C，使得C^TAC=B，則稱方陣A合同於矩陣B.
一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。
相似矩陣與合同矩陣的秩都相同。
，則稱方陣A與B合同，記作 A≃B。
在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。
合同關系是一個等價關系，也就是說滿足：
1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；
2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；
3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；
4、合同矩陣的秩相同。
矩陣合同的主要判別法：
1、設A,B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同.
2、設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。
旋轉矩陣是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它可以把右手坐標系改變成左手坐標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。
旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。
矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統。這類系統的運動方程可以用矩陣的形式來表示，即用一個質量矩陣乘以一個廣義速度來給出運動項，用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。
求系統的解的最優方法是將矩陣的特徵向量求出（通過對角化等方式），稱為系統的簡正模式。這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。描述力學振動或電路振盪時，也需要使用簡正模式求解。
㈣ 如何證明兩對稱矩陣合同的充要條件是是秩相等且正慣性系數相等
由慣性定理知必要性顯然.當秩與正負慣性指數相等時,它們的二次型的規范型相同,即它們合同於同一矩陣,故它們也合同
㈤ 如何理解矩陣合同的充要條件
二次型用的矩陣是實抄對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。相似矩陣與合同矩陣的秩都相同。
設M是n階實系數對稱矩陣， 如果對任何一非零實向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，則稱f(X)為正定二次型，f(X)的矩陣M稱為正定矩陣。一種實對稱矩陣。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩陣A(=A′)稱為正定矩陣。
判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特徵值全為正。
判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。
判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同於單位陣。
(5)兩矩陣合同的充要條件擴展閱讀：
1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；
2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；
3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；
4、合同矩陣的秩相同。
5、矩陣合同的主要判別法：設A,B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同；設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。
㈥ 實對稱矩陣為正定矩陣的充要條件為什麼是與單位矩陣合同
充分性直接按正定的定義驗證，必要性可以用Gauss消去法構造出Cholesky分解A=LL^T。
1、實內對稱矩陣容A的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣A的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣A必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
次序存放在一個向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩陣中，元素總數為n(n+1)/2）。
參考資料來源：網路-實對稱矩陣
㈦ 實對稱矩陣為正定矩陣的充要條件為什麼是與單位矩陣合同
證明來：假設實對稱陣A是正自定陣，
則A的特徵值{a1,a2,..,an}都是正的，
而實對稱陣是正交相似於對角陣diag(a1,..,an)，
即有正交陣P使得
A=P'diag(a1,a2,..,an)P
=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P
記Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P，則
A=Q'Q，即A與單位陣合同
反之若A與單位陣合同，即存在可逆陣S，使得
設A=S'S。則對任意非零向量x，有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)>0
∴A是正定的
㈧ 矩陣合同的充要條件需不需要兩個矩陣都是實對稱矩陣
這取決於你所謂的充要條件是什麼
一般教材上默認只對實對稱陣（或Hermite陣）討論合同關系，所以以你的知識可以不用考慮非對稱的合同
㈨ 線性代數 2個矩陣A B 合同的充分 必要 充分必要條件分別是什麼
合同的充要條件是規范形相同
或正負慣性指數相同
㈩ 劉老師：為什麼說矩陣合同的充要條件是有相同的r和規范形
規范形相同就可以了
規范形中含有秩和正負慣性指數的信息
合同的充分必要條件是正負慣性指數相同
秩
=
正負慣性指數的和