矩陣相似與合同

『壹』 矩陣相似與矩陣合同有什麼區別

矩陣相似與矩陣合同具體的不同點在於：

1. 矩陣相似的例子中，P-1AP=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是二者有相等的不變因子；可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；矩陣相似必等價，但等價不一定相似。

2. 矩陣合同的例子中，CTAC=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是秩相等且正慣性指數相等，即標准型相同；可通過二次型的非退化的線性替換來理解；矩陣合同必等價，但等價不一定合同。

3. 總結：矩陣的相似和矩陣的合同都是由線性空間中坐標系的轉換引起的。我們在線性空間中定義矩陣和向量的乘法，並將矩陣理解成線性空間中「運動」的施加，變換坐標系之後，同一個「運動」在不同坐標系下是相似的關系。我們在線性空間中定義向量的內積（或者說雙線性型），同一個雙線性型運算在不同坐標系下相差合同矩陣。之所以要換坐標系，就是為了在最簡單的坐標系下看清問題的本質。

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在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

2.性質：

合同關系是一個等價關系，就是說滿足：1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；2、 對稱性：A合同 B，則可以推出B合同於A；3、 傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同 C；4、合同矩陣的秩相同。

3.矩陣合同的主要判別法：

（1）B均為復數域上的n階對稱矩陣,則A與B在復數域上合同等價於A與B的秩相同.

（2）B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

『貳』 合同矩陣和相似矩陣的區別

相似，p^(-1)AP=B, 則稱A相似B；
合同， XT AX=B，則稱A，B合同；
簡而言之，相似就是兩個矩陣經過初等變換能從A變到B，此時有相同的秩，特徵值；
合同就是兩個矩陣有相同的正負慣性指數來進行判斷

『叄』 矩陣的等價相似和合同三者有何區別

1、它們的概念不同

等價概念：若矩陣A可以經過有限次初等變換化為B，則稱矩陣A與B等價，記為A≌B。

合同概念概念：兩個n階方陣A_B,若存在可逆矩陣P,使得A≌Bp"AP=B成立，則稱A,B合同，記作A≌B該過程成為合同變換。

相似概念： n階方陣AB，若存在一個可逆矩陣P使得B=P="I4P成立，則稱矩陣AB相似，記為A~B。

2、它們的條件不同

矩陣等價：同型矩陣而言，般與初等變換有關，秩是矩陣等價的不變數，同次，兩同型矩陣相似的。

矩陣相似：針對方陣而言。秩相等是必要條件，本質是二者有相等的不變因子。

矩陣合同：針對方陣而言，一般是對稱矩陣，秩相等是必需條件，本質是秩相等且存在慣性指數相等，即標准型同。

3、它們的充分必要條件不同

矩陣等價的充要條件：AB同型，且人r(A)=r(B)A≌B={存在可逆矩陣P和Q，使得PAQ=B成立}

矩陣合同的充要條件：矩陣A.B均為實對稱矩陣，則A≌B≈二次型xAx與x"Bx有相等的E負慣性指數，即有相同的標准型。

矩陣相似的充分條件及充要條件：充分條件：矩陣AB有相同的不變因子或行列式因子。充要條件： A~B口(2E-A)≌(AE-B)。

『肆』 如何判斷矩陣合同、相似、等價

1、矩陣等價

矩陣A與B等價必須具備的兩個條件：

(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)；

(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q， 使B= PAQ。

2、矩陣A與B合同

必須同時具備的兩個條件：

(1) 矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣；

(2) 存在n階矩陣P: P^TAP= B。

3、矩陣A與B相似

必須同時具備兩個條件：

(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣，而且是方陣；

(2)存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP= B。

(4)矩陣相似與合同擴展閱讀

矩陣的相似，實際上兩個相似矩陣描述的是同一個線性變換，只是在不同基底下的坐標表示。相似矩陣的特徵值相同，秩也相同，方陣對應的行列式也相同。

判斷兩個矩陣是否相似，一般的題型是看兩個矩陣能否相似於同一對角陣。同時兩個矩陣相似，其對應的以矩陣為變數的兩個函數也相似。

矩陣的合同是在二次型的背景下提出來的，理解合同就針對二次型里的對稱陣，給一個二次型，我們可以寫成矩陣表達形式，做一系列的可逆變換，新得到的表示二次型的矩陣，就是與原矩陣合同的新矩陣。

對於對稱陣，兩矩陣合同的重要條件是正負慣性指數相同，也就是正特徵值的個數，負特徵值的個數相同。

矩陣相似與否和合同與否沒有直接關系，但在我們的考試當中，一般考察對稱陣，在對稱陣的前提下，矩陣相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特徵值一樣，合同只要求特徵值的正負性一樣。

『伍』 矩陣等價，相似，合同之間的區別和聯系

一、矩陣等價、相似和合同之間的區別：

1、等價，相似和合同三者都是等價關系。

2、矩陣相似或合同必等價，反之不一定成立。

3、矩陣等價，只需滿足兩矩陣之間可以通過一系列可逆變換，也即若干可逆矩陣相乘得到。

4、矩陣相似，則存在可逆矩陣P使得，AP=PB。

5、矩陣合同，則存在可逆矩陣P使得，P^TAP=B。

6、當上述矩陣P是正交矩陣時，即P^T=P^(-1)，則有A，B之間既滿足相似，又滿足合同關系。

二、矩陣等價、相似、合同之間聯系：

1、矩陣等秩是相似、合同、等價的必要條件，相似、合同、等價是等秩的充分條件。

2、矩陣等價是相似、合同的必要條件，相似、合同是等價的充分條件。

3、 矩陣相似、合同之間沒有充要關系，存在相似但不合同的矩陣，也存在合同但不相似的矩陣。

4、總結起來就是：相似=>等價，合同=>等價，等價=>等秩。

(5)矩陣相似與合同擴展閱讀：

矩陣等價：

1、同型矩陣而言。 

2、一般與初等變換有關。

3、 秩是矩陣等價的不變數，其次兩同型矩陣相似的本質是秩相等。

矩陣相似：

1、針對方陣而言。

2、秩相等是必要條件。

3、本質是二者有相等的不變因子。

矩陣合同：

1、針對方陣而言，一般是對稱矩陣。

2、秩相等是必需條件。

3、本質是秩相等且正慣性指數相等，即標准型相同。 

通過上述的對比可知，等價關系是三種關系中條件最弱的，合同與相似是特堵的等價關系，若兩個矩陣相似或合同，則這兩個矩陣一定等價，反之不成立，相似與合同不能互相推導，但是如果兩個實對稱矩陣式相似的，那一定是合同的。

『陸』 矩陣的等價相似和合同三者有何區別

1、等價（只有秩相同）–>合同（秩和正負慣性指數相同）–>相似（秩，正負慣性指數，特徵值均相同），矩陣親密關系的一步步深化。

2、相似矩陣必為等價矩陣，但等價矩陣未必為相似矩陣 ，PQ=EPQ=E的等價矩陣是相似矩陣。

3、合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣，正慣性指數相同的等價矩陣是合同矩陣。合同矩陣未必是相似矩陣，相似矩陣未必合同。

4、正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣。如果A與B都是n階實對稱矩陣，且有相同的特徵根．則A與B既相似又合同。

(6)矩陣相似與合同擴展閱讀：

矩陣切換器技術指標

矩陣切換器根據不同的應用領域，所要求的技術指標也不同。以廣電行業為例，為保證終端的顯示質量，廣電行業將整個信號傳輸過程，從攝像頭開始到電視機為止，都進行了技術指標分配，對模擬矩陣切換和分配。

一般指在多路輸入的情況下有多路的輸出選擇，形成的矩陣結構，將形成M×N的結構稱為矩陣切換器，而將M×1的結構稱為切換器或選擇器，1×M的結構稱為分配器。矩陣的原理是利用晶元內部電路的導通與關閉進行接通與關斷，並可通過電平進行控制完成信號的選擇。

『柒』 矩陣的合同和相似有什麼共同與不同

合同或相似矩陣
必有相同的秩,
故必是等價的.
但合同不一定相似,
相似也不一定合同
但正交相似時即合同又相似

『捌』 合同矩陣和相似矩陣的區別

矩陣a,b相似是指存在可逆矩陣p,使得b=p^(-1)ap
而矩陣的合同則是指存在可逆矩陣p，使得b=ptap。
當然矩陣相似不一定是合同的了。

『玖』 相似矩陣和合同矩陣的關系

我今天剛看完書……
相似必合同，合同必等價
等價就是矩陣擁有相同的r，
矩陣合同回，CtAC(Ct為轉置)=B，矩陣乘以可逆矩答陣他的r不變，r(B)=r(CtAC)=r(AC)=r（A），等價。同理兩矩陣相似一定等價
矩陣相似一定合同，因為兩矩陣相似，有相同的特徵多項式和特徵根，就一定有相同的r，慣性系數一定相同，可以化成相同的標准形，矩陣合同的充要條件是有相同的r和規范形（A、B都有其對應的對角形矩陣，結合定義即可推出，太難打了自己理解謝謝），標准形相等規范形一定相等，所以相似一定合同