向量合同

㈠ 向量组等价 等价矩阵 相似矩阵 合同矩阵 的关系

向量组不等价吗？ 虽然列不等价，但是行等价啊

㈡ 线代题 怎么判断两个矩阵是否合同

矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为复数域上的阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。

(2)向量合同扩展阅读：

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。

由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。

比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。

一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。

如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。

㈢ 向量组等价,相似矩阵,矩阵合同,中具有反身性,对称性,传递性,那什么是反身性,对称性,传递性

对等价向量组
反身性：向量组A等价于自身，记为：A~A
对称性：若向量组专属A~向量组B，则向量组B~向量组A
传递性： 若向量组A等价向量组B，向量组B等价向量组C，则向量组A等价向量组C
其他类似

㈣ 矩阵通过合同变换变换出的对角阵对角线上的数字就是特征值吗，由e变换出的C矩阵列向量为特征向量吗

通过合同变换,得到P^TAP=D
对角阵上的数字不一定是特征值，除非P满足正交矩阵

㈤ 线性代数问题 A和B合同 怎么求C 我只知道是用特征向量求 具体怎么做

C应该是有个前提条件的吧，则Ct=C逆，所以可以理解为 C逆AC=B然后就是求相似矩阵的知识了。。。（太久了实在记不起来详细应该怎么算了= =）

㈥ 如果知道同阶矩阵A，B的特征值，A+B的特征值是A和B特征值的和吗

特征值的个数不一定只有一个，故一般说A的特征值之一为x，或x是A的一个特征值，或x是A的特征值之一。

如果它们有A的特征值x对应的特征向量与B的特征值y对应的特征向量相同，比如都是ξ。

那么 Aξ=xξ,B=yξ，此时(A+B)ξ=(x+y)ξ，此时A+B有特征值x+y，对应的特征向量还是ξ。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的重数。

(6)向量合同扩展阅读

性质

性质1：n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)。

性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质4：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关[2] 。

㈦ 二次型能用特征值、特征向量来化标准形,原因在于相似变换与合同变换本质上相同

一般的相似变换不是合同变换, 而二次型恰好可以用正交相似变换对角化, 这既是相似变换又是合同变换.

㈧ 什么叫正交变换为什么要正交变换

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且内保证变换前容后内积不变。

原因：

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。

行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。

做内积之值。

㈨ 线性代数中，怎么判断两个矩阵是否合同

矩阵合同的判别法：

设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上内合同等价于A与B的秩相容同。

设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

(9)向量合同扩展阅读：

合同矩阵发展史

1、1855 年，埃米特证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施、布克海姆等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。

2、在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

3、1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 1892 年，梅茨勒引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

㈩ 为什么判断2个矩阵合同是看正负惯性指数是否相同，特征值的正负个数是否相同

合同变换是对行做一次变换就要对列做相同得变换。

对于可对角化矩阵，经过合同变换最终是化成对角矩阵，所以比较2矩阵是否合同要看这2矩阵得对角化矩阵是否合同。

而2对角化矩阵再做合同变换只能化为单位得不能换正负号，所以2对角化矩阵合同充要条件是正负惯性系数相同。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量。

(10)向量合同扩展阅读：

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

矩阵有n个不同的特征向量；特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。