两矩阵合同的充要条件
㈠ A和B都是n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()
正负惯性指数相同。
㈡ 怎样判断两个矩阵合同
矩阵合同的主要自判别法：
1、设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
2、设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个实对称矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵P，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。
1、对于任一实系数n元二次型X'AX，要化为标准型，实际上就是要找一个可逆变换X=CY，将它化为Y'BY的形式，其中B为对角阵。则C'AC=B,B就是A的一个合同矩阵了。
2、如果你想要的是将A经合同变换化为B时的变换矩阵C，常用的方法有3种，即配方法、初等变换法和正交变换法。
(2)两矩阵合同的充要条件扩展阅读：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；
4、合同矩阵的秩相同。
㈢ 如果两个矩阵合同，那么它们两个之间有什么定理或推论
如果两个矩阵合同，则它们有相同的定号，有相同的秩，有相同的正负惯性指数，它们的行列式同号。
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B.
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。
相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。
，则称方阵A与B合同，记作 A≃B。
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法：
1、设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.
2、设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
旋转矩阵是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。
旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。
矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。
求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。
㈣ 如何证明两对称矩阵合同的充要条件是是秩相等且正惯性系数相等
由惯性定理知必要性显然.当秩与正负惯性指数相等时,它们的二次型的规范型相同,即它们合同于同一矩阵,故它们也合同
㈤ 如何理解矩阵合同的充要条件
二次型用的矩阵是实抄对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵。一种实对称矩阵。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(=A′)称为正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
(5)两矩阵合同的充要条件扩展阅读：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；
4、合同矩阵的秩相同。
5、矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同；设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
㈥ 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同
充分性直接按正定的定义验证，必要性可以用Gauss消去法构造出Cholesky分解A=LL^T。
1、实内对称矩阵容A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。
参考资料来源：网络-实对称矩阵
㈦ 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同
证明来：假设实对称阵A是正自定阵，
则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的，
而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)，
即有正交阵P使得
A=P'diag(a1,a2,..,an)P
=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P
记Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P，则
A=Q'Q，即A与单位阵合同
反之若A与单位阵合同，即存在可逆阵S，使得
设A=S'S。则对任意非零向量x，有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)>0
∴A是正定的
㈧ 矩阵合同的充要条件需不需要两个矩阵都是实对称矩阵
这取决于你所谓的充要条件是什么
一般教材上默认只对实对称阵（或Hermite阵）讨论合同关系，所以以你的知识可以不用考虑非对称的合同
㈨ 线性代数 2个矩阵A B 合同的充分 必要 充分必要条件分别是什么
合同的充要条件是规范形相同
或正负惯性指数相同
㈩ 刘老师：为什么说矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形
规范形相同就可以了
规范形中含有秩和正负惯性指数的信息
合同的充分必要条件是正负惯性指数相同
秩
=
正负惯性指数的和