矩阵相似与合同

『壹』 矩阵相似与矩阵合同有什么区别

矩阵相似与矩阵合同具体的不同点在于：

1. 矩阵相似的例子中，P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似。

2. 矩阵合同的例子中，CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。

3. 总结：矩阵的相似和矩阵的合同都是由线性空间中坐标系的转换引起的。我们在线性空间中定义矩阵和向量的乘法，并将矩阵理解成线性空间中“运动”的施加，变换坐标系之后，同一个“运动”在不同坐标系下是相似的关系。我们在线性空间中定义向量的内积（或者说双线性型），同一个双线性型运算在不同坐标系下相差合同矩阵。之所以要换坐标系，就是为了在最简单的坐标系下看清问题的本质。

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在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

2.性质：

合同关系是一个等价关系，就是说满足：1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；2、 对称性：A合同 B，则可以推出B合同于A；3、 传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同 C；4、合同矩阵的秩相同。

3.矩阵合同的主要判别法：

（1）B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.

（2）B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。

『贰』 合同矩阵和相似矩阵的区别

相似，p^(-1)AP=B, 则称A相似B；
合同， XT AX=B，则称A，B合同；
简而言之，相似就是两个矩阵经过初等变换能从A变到B，此时有相同的秩，特征值；
合同就是两个矩阵有相同的正负惯性指数来进行判断

『叁』 矩阵的等价相似和合同三者有何区别

1、它们的概念不同

等价概念：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A≌B。

合同概念概念：两个n阶方阵A_B,若存在可逆矩阵P,使得A≌Bp"AP=B成立，则称A,B合同，记作A≌B该过程成为合同变换。

相似概念： n阶方阵AB，若存在一个可逆矩阵P使得B=P="I4P成立，则称矩阵AB相似，记为A~B。

2、它们的条件不同

矩阵等价：同型矩阵而言，般与初等变换有关，秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的。

矩阵相似：针对方阵而言。秩相等是必要条件，本质是二者有相等的不变因子。

矩阵合同：针对方阵而言，一般是对称矩阵，秩相等是必需条件，本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同。

3、它们的充分必要条件不同

矩阵等价的充要条件：AB同型，且人r(A)=r(B)A≌B={存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立}

矩阵合同的充要条件：矩阵A.B均为实对称矩阵，则A≌B≈二次型xAx与x"Bx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

矩阵相似的充分条件及充要条件：充分条件：矩阵AB有相同的不变因子或行列式因子。充要条件： A~B口(2E-A)≌(AE-B)。

『肆』 如何判断矩阵合同、相似、等价

1、矩阵等价

矩阵A与B等价必须具备的两个条件：

(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)；

(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q， 使B= PAQ。

2、矩阵A与B合同

必须同时具备的两个条件：

(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵；

(2) 存在n阶矩阵P: P^TAP= B。

3、矩阵A与B相似

必须同时具备两个条件：

(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵；

(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP= B。

(4)矩阵相似与合同扩展阅读

矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐标表示。相似矩阵的特征值相同，秩也相同，方阵对应的行列式也相同。

判断两个矩阵是否相似，一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似，其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。

矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的，理解合同就针对二次型里的对称阵，给一个二次型，我们可以写成矩阵表达形式，做一系列的可逆变换，新得到的表示二次型的矩阵，就是与原矩阵合同的新矩阵。

对于对称阵，两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，也就是正特征值的个数，负特征值的个数相同。

矩阵相似与否和合同与否没有直接关系，但在我们的考试当中，一般考察对称阵，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样。

『伍』 矩阵等价，相似，合同之间的区别和联系

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即P^T=P^(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

(5)矩阵相似与合同扩展阅读：

矩阵等价：

1、同型矩阵而言。 

2、一般与初等变换有关。

3、 秩是矩阵等价的不变量，其次两同型矩阵相似的本质是秩相等。

矩阵相似：

1、针对方阵而言。

2、秩相等是必要条件。

3、本质是二者有相等的不变因子。

矩阵合同：

1、针对方阵而言，一般是对称矩阵。

2、秩相等是必需条件。

3、本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同。 

通过上述的对比可知，等价关系是三种关系中条件最弱的，合同与相似是特堵的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立，相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵式相似的，那一定是合同的。

『陆』 矩阵的等价相似和合同三者有何区别

1、等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。

2、相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵 ，PQ=EPQ=E的等价矩阵是相似矩阵。

3、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵，正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵。合同矩阵未必是相似矩阵，相似矩阵未必合同。

4、正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同。

(6)矩阵相似与合同扩展阅读：

矩阵切换器技术指标

矩阵切换器根据不同的应用领域，所要求的技术指标也不同。以广电行业为例，为保证终端的显示质量，广电行业将整个信号传输过程，从摄像头开始到电视机为止，都进行了技术指标分配，对模拟矩阵切换和分配。

一般指在多路输入的情况下有多路的输出选择，形成的矩阵结构，将形成M×N的结构称为矩阵切换器，而将M×1的结构称为切换器或选择器，1×M的结构称为分配器。矩阵的原理是利用芯片内部电路的导通与关闭进行接通与关断，并可通过电平进行控制完成信号的选择。

『柒』 矩阵的合同和相似有什么共同与不同

合同或相似矩阵
必有相同的秩,
故必是等价的.
但合同不一定相似,
相似也不一定合同
但正交相似时即合同又相似

『捌』 合同矩阵和相似矩阵的区别

矩阵a,b相似是指存在可逆矩阵p,使得b=p^(-1)ap
而矩阵的合同则是指存在可逆矩阵p，使得b=ptap。
当然矩阵相似不一定是合同的了。

『玖』 相似矩阵和合同矩阵的关系

我今天刚看完书……
相似必合同，合同必等价
等价就是矩阵拥有相同的r，
矩阵合同回，CtAC(Ct为转置)=B，矩阵乘以可逆矩答阵他的r不变，r(B)=r(CtAC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价
矩阵相似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵，结合定义即可推出，太难打了自己理解谢谢），标准形相等规范形一定相等，所以相似一定合同